СССР
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

ВСЕСОЮЗНЫЙ ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора института
Г.Д. ХАСХАЧИХ
6 апреля 1987 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСАДКИ БЕТОНА

Москва
1987

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящих Методических Рекомендациях рассматриваются инженерные способы расчета железобетонных конструкций транспортных сооружений на длительные воздействия на базе теории ползучести.

Основные положения Методических рекомендаций и предлагаемый алгоритм расчета могут быть использованы для построения самых общих (в том числе численных) способов расчета на длительные воздействия при проектировании как транспортных, так и других сооружений из железобетона.

Методические рекомендации уточняют и развивают прикладные методы расчета в соответствии с указаниями действующих СНиП 2.05.03-84 "Мосты и трубы" (п. 3.15) и СНиП 2.03.01-84 "Бетонные и железобетонные конструкции (пп. 2.14 и 1.26).

Методика расчета основывается на применении аналитических решений, представленных в форме простых алгебраических выражений. Приведенный способ оценки числовых значений всех параметров, необходимых для расчета, получен в резу1льтате выполненного в ЦНИИСе статистического анализа опытных данных, включающих более 50 тысяч измерений кратковременных и длительных деформаций различных бетонов.

Методические рекомендации разработаны в отделении строительных материалов, прочности и долговечности железобетонных конструкций канд. техн. наук Е.Н. Щербаковым и инж. В.Л. Хасиным. В подготовке материалов разд. 2 принимала участие канд. техн. наук Н.Г. Хубова.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Настоящие Методические рекомендации позволяют существенно уточнить методику расчета железобетонных конструкций, впервые регламентированную для транспортных сооружений в документах [l], [2].

Они распространяются на расчет стержневых железобетонных элементов железнодорожных, автодорожных и городских мостов, работающих без поперечных (нормальных к продольной оси элемента) трещин в бетоне под действием постоянной внешней нагрузки и (или) усилий предварительного напряжения (конструкций, отвечающих категориям требований по трещиностойкости 2а и 2б согласно СНиП 2.05.03-84).

1.2. Методика расчета, изложенная в настоящих Методических рекомендациях, основана на предпосылках наследственной теории старения (теории упругоползучего тела) Г.Н. Маслова - Н.Х. Арутюняна. При этом использован предложенный в ЦНИИСе вариант аналитического выражения для семейства кривых удельной ползучести, позволяющий в сравнительно простой форме отразить главные из известных особенностей длительного деформирования бетона как в линейной, гак и в нелинейной области [3] – [9].

1.3. Все расчеты в данной методике осуществляются на базе общепринятых рабочих гипотез феноменологических теорий ползучести [3], [8], [9]. Суммарная деформация бетона под нагрузкой рассматривается как состоящая из трех компонентов:

упругомгновенной деформации, линейно зависящей от вызвавших ее напряжений и полностью обратимой при разгрузке;

деформации ползучести, также линейно зависящей от напряжений, подчиняющейся, принципу наложения воздействий с учетом старения бетона, и частично обратимой при разгрузке;

деформации ползучести, нелинейно зависящей от напряжений, не подчиняющейся принципу наложения воздействий и полностью необратимой при разгрузке.

Интегральное уравнение связи между деформациями бетона и напряжениями записывается соответственно: для линейной составляющей деформаций - в форме теории упругоползучего тела; для нелинейной составляющей - в форме теории старения [3].

Нарастание во времени модули упругости бетона после приложения нагрузки не учитывается.

1.4. В целях унификации расчетов транспортных и других видов сооружений на длительные воздействия аналитическое выражение меры ползучести в Методических рекомендациях принято в форме, аналогичной Рекомендациям по учету ползучести и усадки бетона при расчете бетонных, и железобетонных конструкций.

Отличительной особенностью функциональной зависимости для меры линейной ползучести, принятой в настоящей работе, является использование специальным образом подобранной (приведенной) шкалы времени. Это дает возможность простого аналитического описания семейства кривых ползучести стареющего бетона при учете фактического отсутствия их аффинного подобия (согласно С.В. Александровскому [3]). Одновременно обеспечивается лучшее соответствие расчетных кривых среднестатистическим опытным данным и строгое соблюдение физических условий для деформаций последействия при разгрузке [3], [8].

1.5. Влияние быстронатекаюшей (вслед за приложением нагрузки) части длительных деформаций бетона учтено в Методических рекомендациях в форме вертикальных отрезков кривых ползучести [3]. Одновременно с этим работа содержит данные, позволяющие при необходимости более точно отразить характер нарастания длительных деформаций на указанном начальном участке (в течение нескольких суток после приложения нагрузки).

1.6. Предполагается, что физическая нелинейность деформаций ползучести проявляется при всех уровнях напряжений, однако наиболее существенно, когда напряжения в бетоне превышают нижний параметрический уровень трещинообразования  (по О.Я. Бергу [10]).

В целях упрощения процедуры вычислений допускается использование в расчетах линейной теории ползучести, если максимальные суммарные напряжения в бетоне, вызванные приложением постоянной нагрузки и усилий предварительного напряжения, превосходят указанный параметрический уровень не более чем на 20 % (условно-линейная ползучесть).

1.7. Учет нелинейности деформаций ползучести бетона основан в Методических рекомендациях на использовании функции напряжений, отражающей отсутствие аффинного подобия кривых простой ползучести бетона при действии напряжений разного уровня [11]. Соответствующая функция нелинейности предложена также для учета специфики быстронатекаюших деформаций.

1.8. Числовые параметры, входящие в аналитические выражения для описания семейств кривых ползучести, а также все другие необходимые для расчетов параметры прочностных и деформационных характеристик бетона приведены в разд.2. Значения этих параметров, обоснованные результатами статистического анализа [11], обеспечивают высокую достоверность расчетной оценки деформационных свойств цементных бетонов.

1.9. В основу принятой в Методических рекомендациях практической методики расчета с учетом ползучести и усадки бетона положен разработанный в ЦНИИСе [12], [13] общий способ решения системы интегральных уравнений совместности деформаций упругих (арматура) и упруго-пластических (бетон) элементов сечения, осуществляемый путем замены исходных геометрических характеристик железобетонного поперечного сечения специально выбранными обобщенными параметрами Р_j (разд. 3). Это позволяет математически строго применить хорошо апробированные точные решения, предназначенные для расчета железобетонных сечений с одиночной арматурой, к любым (в том числе сколь угодно сложным) случаям армирования.

Предлагаемый способ расчета, в том числе в самом общем случае (рекомендуемое приложение 1), является математически строгим и точным (в рамках точности предпосылок избранной линейной теории ползучести). Он не накладывает никаких ограничений, касающихся геометрической формы поперечного сечения элемента, расположения в сечении гибких (арматура) или жестких упругих элементов, ориентации плоскости действия равнодействующих внутренних усилий по отношению к главным осям инерции поперечного сечения.

Данный способ инвариантен также по отношению к математической форме записи меры ползучести в реологических уравнениях совместности деформаций бетона и упругих элементов.

1.10. Все расчетные формулы, приведенные в разделах [4] – [7], относятся к наиболее распространенному в инженерной практике случаю - расчету железобетонных элементов с двойной (многорядной) арматурой, поперечное сечение которых симметрично относительно вертикальной оси, а равнодействующие внешней нагрузки приложены в плоскости симметрии.

Для железобетонных элементов с одиночным армированием предлагаемые расчетные формулы строго, соответствуют точному решению для этого частного случая.

1.11. Методика расчета железобетонных элементов, отвечающих условиям п. 1.10, с учетом ползучести в линейной постановке (или в предположении условно-линейной ползучести бетона согласно п. 1.6) изложена в разд. 4. Расчетные формулы, приведенные в этом разделе, представляют частный случай общего алгоритма решения задачи (см. рекомендуемое приложение 1) и полностью сохраняют математическую строгость и точность.

1.12. Способ учета нелинейной зависимости между деформациями ползучести бетона и напряжениями, содержащийся в разд. 5, основан на комбинации двух математически строгих решений. При некоторых упрощающих попущениях это позволяет с достаточным для практики приближением оценить сложный характер перераспределения усилий в поперечном сечении железобетонного элемента с двойной арматурой в условиях нелинейной ползучести бетона, в том числе при учете скоропреходящего влияния нелинейности деформаций (согласно п. 1.7). Погрешность способа по сравнению с точным численным решением (при полном соответствии исходных условий) в большинстве практически встречающихся случаев не превосходит ± 5%.

Если влияние нелинейной составляющей деформации исключается из рассмотрения согласно п. 1.6, расчетные формулы разд. 5 становятся тождественными соответствующим точным формулам разд. 4.

1.13. Способ учета влияния усадки бетона на напряженно-деформированное состояние железобетонных элементов, изложенный в разд. 7, содержит допущение об аффинном подобии кривых деформаций усадки и линейной ползучести бетона. Хотя фактически указанное допущение строго не выполняется, оно незначительно сказывается на результатах расчета, но существенно упрощает вычисления.

При этом допущении расчетные формулы, приведенные в разд. 7, также являются математически строгими и точными.

1.14. Все расчетные формулы, содержащиеся в разделах 4-7, представлены в виде однотипных по структуре алгебраических выражений, включающих наследственные функции  или  (соответственно для решения задач в линейной или нелинейной постановке).

Числовые значения функций  для упрощения процедуры вычислений табулированы в зависимости от двух обобщенных параметров по принципу, предложенному И.Е. Прокоповичем [15], что позволяет существенно упростить вычислительные операции (табл. 1 и 2 рекомендуемого приложения 2).

Аналогичным образом табулированы числовые значения функции F , входящей в расчетные формулы для определения промежуточных величин приращений напряжений в арматуре и бетоне (табл. 5 рекомендуемого приложения 2).

Числовые значения функции  определяются по формулам, исходя из базовых значений функции  и табулированных значений дополнительной функции χ учитывающей влияние скоропреходящего характера нелинейной составляющей деформаций ползучести (табл. 3 и 4 рекомендуемого приложения 2).

Общая схема расчета железобетонных конструкций транспортного назначения изложена в разд. 8 и иллюстрируется двумя примерами (справочное приложение 3).

1.15. Содержащаяся в Методических рекомендациях методика может быть использована для расчета железобетонных элементов не только из обычного тяжелого, но и мелкозернистого бетона (согласно СНиП 2.03.01-84) с учетом характерных для меры значений параметров в математическом выражении ядра ползучести (см. разд.2).

Предлагаемая методика может быть равным образом использована в расчетах железобетонных конструкций различного назначения с применением других видов бетона при условии, что для этих бетонов обоснованы необходимые числовые параметры деформаций, а также определены предпосылки теории ползучести [16] , включая аналитическое выражение соответствующих наследственных функций. В этих случаях корректировке подлежат только табулирование значения функций, приведенные в рекомендуемом приложении 2.

1.16. Приводимая в данной работе методика расчета может быть эффективно использована для расчетной опенки перераспределения усилий (напряжений), вызванного ползучестью и усадкой бетона, а также температурными перепадами в сталежелезобетонных конструкциях пролетных строений мостов (разд. 5 СНиП 2.05.03-84), железобетонная часть которых отвечает указанным в п. 1.1 требованиям по трещиностойкости.

При соблюдении условий, оговоренных в пп. 1.10 и 1.13, все приведенные формулы применимы для расчета поперечных сечений сталежелезобетонных элементов и нуждаются лишь в незначительной корректировке, связанной с принятым в СНиП 2.05.03-84 способом приведения упругих характеристик стали и бетона для этого вида конструкций. При этом целиком сохраняется строгость решений (п. 1.9).

2. ЧИСЛОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРОЧНОСТНЫХ И ДЕФОРМАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК БЕТОНА

2.1. Прочностные и деформационные характеристики бетона, применяемые в расчетах железобетонных конструкций (разд. 4-7), определяют, как правило, исходя из предусмотренного проектом класса бетона по прочности на сжатие В.

2.2. Класс бетона по прочности на сжатие устанавливается в возрасте 28 суток и контролируется испытанием кубов с размером ребра 150 мм (согласно СТ СЭВ 1406-78)

При наличии необходимых данных рекомендуется учитывать, кроме того, особенности структурных характеристик бетона данного класса, обусловленные влиянием дозировки и качества составляющих бетонной смеси или иными факторами.

При нормировании величин длительных деформаций ползучести и усадки учитывают дополнительно гарантированную прочность (возраст) бетона к моменту приложения длительной нагрузки (началу высыхания), размеры поперечного сечения элементов и влажность среды.

2.3. Нормируемые числовые параметры деформаций приведены в настоящем разделе с обеспеченностью 50 %. При необходимости нормировать значения деформаций с обеспеченностью, отличной от 50 %, последние должны быть скорректированы с учетом следующих данных коэффициентов вариации:

для начального модуля упругости 0,12;

для предельного значения меры ползучести 0,22;

для предельного значения деформаций 0,15.

Прочность и деформации при кратковременном нагружении

2.4. Гарантированное с обеспеченностью 0,95 значение кубиковой прочности бетона при сжатии, МПа, соответствующее возрасту бетона t (при твердении в нормальных температурно-влажностным условиях), определяют из выражения

,                                                (1)

где B - класс бетона по прочности на сжатие по п. 2.1;

a, c, d - коэффициенты, числовые значения которых назначаются в зависимости от вида используемого цемента (табл. 1).

Таблица 1

Соответствующие значения нормативного сопротивления бетона осевому сжатию вычисляют по формуле

.                                       (2)

2.5. Значения начального модуля упругости бетона Е_в, МПа, при загружении в возрасте t определяют по формуле

,                                                                                  (3)

где p_z - удельное (по массе) содержание цементного теста в бетонной смеси;

s - коэффициент, учитывающий влияние вида заполнителя; для тяжелого бетона (N) на гранитном щебне и кварцевом песке s = 135 МПа; для мелкозернистого бетона (М) на кварцевом песке s = 155 МПа (соответствует мелкозернистому бетону группы А по СНиП 2.03.01-84). При наличии данных о максимальной крупности заполнителя, используемого для приготовления бетона, значения Е_в (t) по формуле (3) рекомендуется дополнительно умножать на коэффициенты, приведенные в табл. 2.

Таблица 2

Максимальная крупность заполнителя, мм	5	20	30	40
Значения коэффициентов	0,94	1,00	1,05	1,10

2.6. Если необходимые данные для расчетов по формуле (3) отсутствуют, значения начального модуля упругости бетона Е_в(t), МПа, допускается принимать в зависимости от гарантированной прочности бетона на сжатие и подвижности (удобоукладываемости) бетонной смеси по ГОСТ 10.181.1-81 согласно табл. 3.

Длительные деформации ползучести и усадки

2.7. Нормативные предельные (при t → ∞) значения меры линейной ползучести бетона, загруженного в возрасте 28 суток, и относительных деформаций усадки по истечении 7 суток твердения во влажных условиях определяют по формулам:

;                                                       (4)

,                                                          (5)

где W - удельное (по объему) количество воды затворения в бетонной смеси, л/м³;

V - удельное (по объему) количество вовлеченного воздуха в уплотненной бетонной смеси, л/м³;

К_C - безразмерный коэффициент, принимаемый равным 15,5·10^-6 для тяжелых и мелкозернистых бетонов;

K_S - безразмерный коэффициент, принимаемый равным:

для тяжелых бетонов (N) 0,14·10^-6,

для мелкозернистых бетонов (М) 0,16·10^-6.

2.8. В формулах (4) и (5) количество вовлеченного воздуха в уплотненной бетонной смеси принимают: для бетонов с воздухововлекающими химическими добавками - по фактическим данным, а при отсутствии таких данных V = 30 л/м³; для бетонов с пластифицирующими добавками (включая добавки суперпластификаторов) V = 10 л/м³,

2.9. При отсутствии данных о составе бетонной смеси нормативные значения С_п(28) и ε_sn(7) назначают по табл. 4.

2.10. Предельные (при t → ∞) значения меры линейной ползучести С(t₀) и относительных деформаций усадки ε_s(t_w), соответствующие фактическим условиям изготовления и эксплуатации конструкций, определяют по формулам:

;                                                   (6)

,                                                    (7)

где C_n(28) и ε_sn(7) - нормативные значения по формулам (4) и (5) или табл. 4;

ξ₁, ξ₂, ξ₃ - коэффициенты, учитывающие влияние на ползучесть и усадку соответственно зрелости бетона, размеров поперечного сечения элемента и относительной влажности среды согласно данным табл. 5.

Таблица 3

Примечания: 1. Данные табл. 3 соответствуют тяжелым бетонам (N), изготовленным на гранитном щебне с максимальной крупностью 40 мм и кварцевом песке с модулем крупности 2,5 и мелкозернистым бетоном (М) на том же песке. Значения, заключенные в рамку, совпадают с данными СНиП 2.03.01-84.

2. Для бетонов, подвергнутых тепловлажностной обработке, значения E_в(t) по формуле (3) или табл. 3 следует умножить на коэффициент 0,9.

Таблица 4

Примечания: 1. Данные табл. 4 соответствуют бетонам с теми же характеристиками, что и в табл. 3. Значения, заключенные в рамку, совпадают с данными СНиП 2.05.03-84.

2. Для бетонов, подвергнутых тепловлажностной обработке, значения С_n(28) и ε_sn(7), найденные по формулам (4) и (5) или по табл. 4, следует умножить на коэффициент 0,9.

3. Значения С_n(28) по формуле (4) или табл. 4 следует, кроме того, умножить на коэффициент, принимаемый равным:

для бетонов, изготовленных на пуццолановом портландцементе 1,35;

для бетонов, изготовленных на шлаковом портландцементе при загружении:

в условиях атмосферной влажности 1,15;

во влагонасыщенной среде 0,85;

для бетонов, изготовленных на крупном заполнителе из известняка 0,85.

Таблица 5

Примечания: 1. При назначении коэффициента ξ_1с отличным от единицы принимают во всех случаях только одно из двух рядов значений, приведенных в строках 1 и 2 (при  и t₀ = 28 сут. принимают ε_1с = 1);

2. Модуль открытой поверхности элемента М вычисляют как отношение М = А/V (А - площадь поверхности элемента, открытой для испарений влаги, м²; V – объем элемента, м³). Для стержневых элементов модуль открытой поверхности допускается вычислять по формуле М = Р/А (Р - периметр поперечного сечения, соответствующий указанной открытой поверхности, м; А - площадь поперечного сечения элемента, м² ).

3. Относительную влажность среды θ принимают в соответствии с заданием на проектирование; для конструкций, эксплуатируемых на открытом воздухе, значение устанавливают в зависимости от климатического района расположения сооружения согласно СНиП 2.01.01-82, как среднюю относительную влажность наружного воздуха наиболее жаркого месяца.

4. Для районов, относящихся согласно СНиП 2.01.01-82 к IV климатической зоне, относительную влажность воздуха рекомендуется устанавливать как среднемесячную влажность, соответствующую фактическому времени загружения (начала высыхания) бетона в элементах конструкции.

5. Для типовых конструкций, климатический район которых заранее неизвестен, допускается принимать коэффициенты ξ_3c и ξ_3s равными 1.

6. Для массивных элементов с открытой удельной поверхностью менее 4 м^-1 вне зависимости от влажности воздуха принимают ξ_3c = ξ_3s = 1.

7. Для элементов, постоянно находящихся в воде или насыщенном водой грунте, независимо от их массивности принимают ξ_2c = ξ_2s = 1.

2.11. Аналитическое выражение меры линейной ползучести (при постоянных напряжениях σ_в→0) для бетона, загруженного в разных возрастах t₀, принимают в виде:

  (8)

где  и  - приведенное время, сут.;

t₀ и t - фактический возраст бетона, сут., (со времени окончания бетонирования) соответственно к моменту приложения нагрузки и в момент наблюдения;

e = 2.718 - основание натурального логарифма.

Если фактический возраст t₀ к моменту достижения бетоном передаточной прочности неизвестен (в том числе, всегда после тепловлажностной обработки), приведенный возраст t₀ при отпуске предварительного напряжения вычисляют по формуле

                                                                    (9)

где коэффициент ξ_1c принимают по строкам 1 или 2 табл. 5.

Значения C(28) в уравнении (8) определяют по формуле (6), полагая при этом ξ_1c = 1. Числовые значения параметров принимают равными c = 0,3, ω = 870 сут., δ = 50 сут. Значения остальных параметров в (8) и (9) находят по табл. 6.

2.12. Аналитическое выражение для удельных деформаций ползучее и бетона, вызванных приложением в возрасте t₀ постоянных напряжений различного относительного уровня η = 0,78·σ_в/R_вn(t₀)(0,78 - коэффициент, учитывающий заданную обеспеченность нормативных значений сопротивления бетона осевому сжатию R_вn в возрасте t₀) представляется в виде:

C(η, t, t₀) = C(t, t₀) + V_t·η^m·C(t, t₀),                                       (10)

где C(t, t₀) - мера линейной ползучести по уравнению (8);

V_t = V₀e^-f - функция, учитывающая смягчение нелинейности деформаций ползучести во времени;

 согласно уравнению (8);

V₀ и m - постоянные коэффициенты, принимаемые равными соответственно 3,5 и 4.

Таблица 6

2.13. Предельные (при t → ∞) значения характеристики линейной ползучести бетона, загруженного в возрасте t₀, в общем случае определяют по формуле

φ(t₀) = C(t₀)·E_в(t₀),                                                              (11)

где C(t₀) находят по формуле (6), a E_в(t₀) - согласно указаниям пп. 2.3 и 2.4 при t = t₀.

Аналогичным образом находят промежуточные значения характеристики ползучести φ_t(t₀) к любому моменту времени наблюдения t > t₀, используя взамен C(t₀) расчетные значения C(t, t₀) по уравнению (8).

Особенности учета быстронатекающих деформаций ползучести

2.14. Под быстронатекающей деформацией ползучести бетона условно понимают ту часть деформаций ползучести, которая реализуется в течение нескольких первых суток после приложения нагрузки в возрасте t.

При необходимости более точного учета развития деформаций ползучести на указанном начальном отрезке времени наблюдения  для определения меры линейной ползучести используют выражение

,                                                 (12)

в котором C(t_j,t₀) определяют из уравнения (8) при t = t_j.

Числовые значения параметра q в (12) вычисляют не формуле

q = 0,2 + 0,00125·M(M, м^-1),                                                 (13)

а значения  принимают по табл. 7.

Таблица 7

При t > t_j нарастание во времени линейной ползучести бетона определяют по уравнению (8).

2.15. При учете нелинейного характера связи между напряжениями и деформациями быстронатекающей ползучести бетона используют выражение (10), в котором принимают m = 4, а функцию V_t в виде

,                                                                        (14)

Числовые значения параметров V₀ и æ назначают в зависимости от проектного класса бетона по табл. 8.

Таблица 8

В этом случае функцию (14) с числовыми параметрами из табл. 8 используют как на начальных t ≤ t_j, так и на последующих t ≥ t_j отрезкам времени наблюдения, совмещая ее соответственно с выражениями (12) или (8).

2.16. Переход от приведенной  к фактической шкале времени t осуществляют с учетом соотношений, представленных в табл. 9.

Таблица 9

Приведенное время , сут.	18	52	115	205	340	535	650	860	1125	1535
Фактическое время t , сут.	1	3	7	14	28	60	90	180	360	720

После линейной интерполяции по данным табл.9 фактическое время (возраст) округляет до целых суток.

Для определения более точных соотношений фактического и приведенного времени используют выражения, приведенные в п. 2.9.

3. ОБОБЩЕННЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО ЭЛЕМЕНТА

3.1. Исходные геометрические характеристики поперечного сечения железобетонного элемента с двойной арматурой (см. рисунок справочного приложения 3) определяют по формулами:

 , (15)

где  и  - суммарная площадь нижней (A_p + A_s) и верхней () напрягаемой и ненапрягаемой арматуры; - радиус инерции бетонной части сечения относительно оси x, J_вх - момент инерции бетонной части сечения относительно той же оси; y_в и y'_в - координаты центров тяжести нижней и верхней арматуры относительно центра тяжести бетонной части сечения; при отсутствии верхней арматуры y'_в - расстояние до крайней верхней фибры сечения.

3.2. Обобщенные геометрические характеристики p₁ и p₂ поперечного сечения железобетонного элемента вычисляют по формуле

          (16)

где все исходные геометрические характеристики сечения приняты по п. 3.1.

3.3. При многорядном расположении в сечении нижней и (или) верхней напрягаемой и ненапрягаемой арматуры задачу сводят к рассмотрению сечения с двойной заменяющей арматурой. При этом расстояние от центра тяжести одной из заменяющих арматур до центра тяжести бетонного сечения y_в принимают соответствующим ряду арматуры, ближайшей к наиболее напряженной грани сечения, а аналогичную координату центра тяжести второй заменяющей арматуры находят по формуле

                                                           (17)

где r_s - радиус инерции всей арматуры, расположенной в сечении, относительно ее центра тяжести;

y₀ - расстояние между центрами тяжести всей арматуры и бетонной части сечения.

Эквивалентные площади заменяющих арматур  и  определяют по формулам:

                     (18)

где  - приведенная суммарная площадь всей напрягаемой и ненапрягаемой арматуры, расположенной в поперечном сечении (с учетом п. 3.4).

3.4. При расчетах по формулам (15) - (18) площади А_s и A'_s ненапрягаемой арматуры, расположенной в сечении, следует, как правило, вводить с учетом фактических соотношений модулей упругости E_s/E_p ненапрягаемой и напрягаемой арматуры (приведенная площадь арматуры).

Влияние ненапрягаемой арматуры допускается не учитывать, если ее площадь составляет менее 20 % суммарного содержания нижней A_ps или верхней A'_ps арматуры.

4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ

4.1 .Предельное (при t → ∞) приращение напряжений в нижней ∆σ_р и в верхней ∆σ'_р напрягаемых арматурах после приложения в возрасте t₀ усилия предварительного напряжения и (или) постоянной внешней нагрузки определяют по формулам:

       (19)

        (20)

Соответствующие приращения напряжений в бетоне на, уровнях центров тяжести нижней ∆σ_в  и верхней ∆σ'_р арматуры вычисляют по формулам:

    (21)

            (22)

В формулах (19) - (22):

 и  - начальные (при t = t₀) напряжения в бетоне на уровнях центров тяжести соответствующих арматур в момент отпуска предварительного напряжения и (или) приложения постоянной нагрузки, определяемые по формулам сопротивления упругих материалов;

µ, µ', ρ₁, ρ₂, ρ₃ - геометрические характеристики железобетонного сечения, вычисляемые по формулам (15) разд. 3;

p₁ и p₂ - обобщенные геометрические характеристики того же сечения по формуле (16) разд. 3;

 и  - наследственные функции, определяемые согласно п. 4.2.

4.2. Значения функций  и  определяют в зависимости от коэффициента ξ_1с (из табл. 5) и каждого из двух соответствующих параметров:

 при                                        (23)

 при                                   (24)

где φ(28) - предельное значение характеристики ползучести бетона при загружении в возрасте t₀ = 28 сут., определяемое согласно п. 2.13;

α = E_p/E_в - отношение модуля упругости напрягаемой арматуры E_p к модулю упругости бетона E_в, соответствующему его проектному классу.

Числовые значения функций  и  при натяжении арматуры на упоры находят по табл. 1, а при натяжении на бетон - по табл. 2 рекомендуемого приложения 2, используя в обоих случаях линейную интерполяцию при промежуточных значениях входных параметров φ_s и ξ_1c.

4.3. Значения начальных напряжений в бетоне σ_вр и σ'_вр в формулах (19) - (22) вычисляют в зависимости от стадии работы предварительно напряженного элемента, руководствуясь указаниями п. 3.14 и обязательного приложения 11 СНиП 2.05.03-84, а также п. 1.28 СНиП 2.03.01-84.

При этом приращения напряжений (первые потери) в напрягаемой арматуре от быстронатекающей ползучести бетона при натяжении на упоры (поз. 6 обязательного приложения 11 СНиП 2.05.03-84) определяют по формулам (19), (20), полагая значения наследственных функций  и  равными:

 и                                     (25)

и вычисляя  и  по формуле

                                           (26)

при каждом из двух соответствующих параметров λ₁ и λ₂ - по формулам (23), (24) и значениях параметров ξ_1c и к по табл.6 и 7.

При натяжении арматуры на бетон приращения (первые потери) напряжений в ней от быстронатекающей ползучести согласно СНиП 2.05.03-84 не учитывают.

4.4. Приращения напряжений ∆σ_s ∆σ'_s в верхней и нижней ненапрягаемой арматурах, на указанных стадиях работы железобетонного элемента также определяют по формулам (19) и (21) или (25), умножая полученный результат на отношение модулей упругости ненапрягаемой и напрягаемой арматуры E_s/E_p. При этом приращения напряжений в ненапрягаемой арматуре учитывают согласно п. 1.28. СНиП 2.03.01-84 независимо от способа натяжения напрягаемой арматуры.

4.5. Для поперечных сечений с многорядным расположением арматуры все вычисления производят с учетом эквивалентных площадей сечения заменяющих арматур  и  и напряжений в бетоне на уровнях центра тяжести этих арматур согласно п. 3.3. Во всем остальном процедура вычислений остается без изменений. Приращения напряжений в арматуре и бетоне на уровнях фактического расположения любого ряда напрягаемой или ненапрягаемой арматуры в сечении определяют, по линейной интерполяции (экстраполяции). Применительно к ненапрягаемой арматуре учитывают, кроме того, указания п. 4.4.

4.6. Для сечений с одиночной напрягаемой и (или) ненапрягаемой арматурой (при µ' = 0) вычисление предельных приращений напряжений в напрягаемой арматуре и бетоне осуществляют по формулам (19) - (22) которые для данного частного случая приводятся к виду:

;                                                                  (27)

                                                                      (28)

Приращение напряжений в крайней верхней фибре по­перечного сечения с одиночной арматурой вычисляют по формуле

                                                              (29)

Приращения напряжений в ненапрягаемой арматуре определяют с учетом указаний пп. 4.4 и 4.5.

5. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В УСЛОВИЯХ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ

5.1. Предельные (при t → ∞) приращения напряжений в нижней ∆σ_р и верхней ∆σ'_р напрягаемых арматурах после приложения (в возрасте t₀) усилия предварительного напряжения и (или) постоянной внешней нагрузки определяют по формулам:

(30)

    (31)

Соответствующие приращения напряжений в бетоне на уровнях центров тяжести нижней ∆σ_в и верхней ∆σ'_в арматуры вычисляют по формулам:

        (32)

                (33)

5.2. Числовые значения наследственных функций ,  и , , входящие в формулы (30) - (33), определяют в соответствии с выражениями:

 и  - табулированные значения наследственных функций по табл. 1 (при натяжении на упоры) или табл. 2 (при натяжении на бетон);

χ - функция, учитывающая влияние начального уровня приложенные напряжений в бетоне, а также отсутствия аффинного подобия соответствующих кривых простой ползучести согласно п. 5.3.

5.3. Значения функций χ определяют в зависимости от относительного значения начальных напряжений в бетоне на уровне центра тяжести соответствующей арматуры

 или  и параметров:

        при                                   (35)

 при                                           (36)

где λ₁ и λ₂ вычисляют по формулам (23) и (24) при φ(28) согласно п. 2.13.

Числовые значения функций χ₁ (χ'₁) и χ₂ (χ'₂) при натяжении арматуры на упоры принимают по табл. 3, а при натяжении на бетон - по табл. 4 рекомендуемого приложения 2.

5.4. Приращения напряжений (первые потери) в напрягаемой арматуре от быстронатекающей ползучести бетона при натяжении на упоры определяют по формулам (30), (31) по методике, аналогичной изложенной в п.4.3. Значения функций  и  вычисляют по формулам (25) и (26), а функций ,  и ,  - по формулам (34). Особенность расчета в этом случае заключается только в том, что функции χ в формулах (34) отыскивают в виде частного двух соответствующих значений этих функций по табл. 3 и 4 рекомендуемого приложения 2. Аналогичным образом поступают при определении приращений напряжений от быстронатекающей ползучести бетона в ненапрягаемой арматуре независимо от способа натяжения напрягаемой арматуры (см. п. 4.4).

5.5. Для случаев многорядного или одиночного армирования предельные значения приращений напряжений в арматуре и бетоне также определяют по формулам (30) - (33), в которых значения нелинейных наследственных функций  находят по формулам (34), исходя из табулированных значений базовых функций  по табл. 1 или 2 и функций χ по табл. 3 и 4 рекомендуемого приложения 2 (в зависимости от способа натяжения напрягаемой арматуры). Во всем детальном алгоритм расчета полностью аналогичен изложенному в предыдущем разд. 4 (пп. п. 4.4 - 4.6). В частности, для поперечных сечений с одиночной напрягаемой и (или) ненапрягаемой арматурой:

                                                                 (37)

                                                                (38)

                                                              (39)

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕКУЩИХ ЗНАЧЕНИЙ ПРИРАЩЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ ПОЛЗУЧЕСТЬЮ БЕТОНА

6.1. В условиях линейной ползучести приращения напряжений в напрягаемой арматуре ∆σ_р(t) и в бетоне ∆σ_в(t) к любому промежуточному моменту времени наблюдения t > t₀ определяют по формулам (19) - (22), но входящие в них наследственные функции  заменяют текущими значениями , которые вычисляют по формулам:

при натяжении арматуры на упоры

               (40)

при натяжении арматуры на бетон

                                               (41)

где  при соответствующих значениях λ₁ и λ₂;

по формуле (26) при тех же значениях λ₁ и λ₂ остальные параметры по пп. 2.9 и 2.11.

Числовые значения наследственных функций  и  для каждого из значений λ₁ и λ₂ в формулах (40) и (41) принимают по табл. 1 (при натяжении арматуры на упоры) или по табл. 2 рекомендуемого приложения 2 (при натяжении арматуры на бетон) в полном соответствии с указаниями п. 4.2.

Числовые значения функций F(t) и F(t₀) в тех же формулах находят аналогичным образом по табл. 5 рекомендуемого приложения 2 независимо от способа натяжения арматуры. При этом значения коэффициента ξ_1с определяют по табл. 6 соответственно для моментов времени наблюдения t и загружения t₀ при каждом из заданных значений λ₁ и λ_2.

6.2. В условиях нелинейной ползучести приращения напряжений в напрягаемой арматуре ∆σ_р(t) и в бетоне ∆σ_в(t) к моменту времени наблюдения t > t₀ определяют по формулам (30) - (33) с заменой наследственных функций  текущими значениями . Последние вычисляют по формулам, аналогичным формулам (34), т.е.

где  и  - расчетные значения функций по формулам (40), (41) при соответствующих значениях λ₁ и λ_2. Значения функции χ_t в (42) определяют по формуле

                      (43)

где  согласно п. 2.9;

Все числовые параметры, входящие в выражение (43) находят по пп. 2.11 - п. 2.13 и табл. 5.

6.3. Допускается использовать более простую аппроксимацию для непосредственного вычисления значений наследственных функций  во всех расчетных формулах в соответствии с выражением, аналогичным приведенному в обязательном приложении 13 СНиП 2.05.03-84.

        (44)

где  - характеристика ползучести бетона к моменту времени наблюдения t согласно п. 2.13. При натяжении арматуры на бетон расчетное значение  уменьшают на величину ∆φ = (1-к) φ (t₀), принимая значение параметра к по табл. 6. В таких случаях вычисление всех четырех значений наследственной функции  необходимых для расчетов но формулам (30) - (33), осуществляют только по выражению (44) при соответствующих значениях параметров λ₁ и λ₂ относительных начальных напряжений в бетоне и η и η' на уровнях центров тяжести нижней и верхней арматуры. Надобность в расчетах по п. 6.2 и формулам (42) - (43) при этом отпадает.

Аналогичным образом допускается приближенно определять также значения наследственных функций  при решении задач в линейной постановке. Для этого в выражении (44) полагают η = 0, после чего вычисляют два требуемых значения функции  и подставляют их в формулы (19) - (22). Формулы (40), (41) из п. 6.1 тогда не используют.

Для определения приращений напряжений, обусловленных только быстронатекающей ползучестью бетона значение  в выражении (44) следует принимать равным (1 ^_ к) . При этом расчеты по пп. 4.3 и 5.4 не производят.

6.4. Выражение (44) применимо равным образом для приближенной расчетной оценки не только текущих  и , но и предельных  и  значений наследственных функций, входящих в расчетные формулы разд. 4 и 5. При этом в формуле (44) достаточно заменить текущие значения характеристики ползучести φ(t₀) ее предельными значениями φ(t₀) = φ(28)·ξ_1c (при натяжении арматуры на упоры) или кφ(t₀) = кφ(28)·ξ_1c (при натяжении на бетон).

Полученные таким путем расчетные значения  или подставляют непосредственно в формулы (19) - (22) или (30) - (33), не прибегая к использованию табл.1 - 4 рекомендуемого приложения 2 и опуская промежуточные вычисления по формулам (34).

6.5. Определение приращений напряжений ∆σ_р(t) и ∆σ_в(t) для случаев одиночного и многорядного армирования производится аналогичными способами с учетом указаний пп. 4.5, 4.6 и 5.5.

7. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ УСАДКИ БЕТОНА

7.1. Предельные (при t → ∞) приращения напряжений в нижней ∆σ_ps и верхней ∆σ'_ps напрягаемой арматуре, вызванные воздействием деформаций усадки бетона после окончания (в возрасте t_w) влажного хранения или тепловлажностной обработки, определяют по формулам:

                       (45)

                  (46)

Соответствующие приращения напряжений в бетоне на уровнях центров тяжести нижней ∆σ_вs и верхней ∆σ'_вs арматуры вычисляют по формулам:

   (47)

       (48)

В формулах (45) - (48) коэффициент пропорциональности  МПа, представляет отношение предельных значений относительной деформации усадки и меры линейной ползучести бетона, определяемых по формулам (6) и (7) разд. 2. Значения функций  и  принимают при натяжении арматуры на упоры по табл. 1, при натяжении на бетон по табл. 2 рекомендуемого приложения 2.

Допускается вычисление функции  и  формуле (44) с учетом указаний пп. 6.3 и 6.4.

7.2. При многорядном расположении нижней и (или) верхней арматуры в сечении используют способ определения координат расположения центров тяжести и площадей заменяющих арматур, изложенный в разд. 3. с последующим расчетом по формулам (45) - (48).

7.3. При наличии в поперечном сечении только одиночной арматуры (µ' = 0) формулы (45) - (48) приводятся к виду:

                                                                      (49)

                                                                        (50)

Приращение напряжений в верхней крайней фибре поперечного сечения с одиночной арматурой определяют по формуле

                                                                  (51)

7.4. Предельные значения приращений напряжений в ненапрягаемой арматуре ∆σ_ss и ∆σ'_ss, вызванных усадкой бетона, определяют аналогичным способом с учетом указаний п. 4.4 и 4.5.

7.5. Приращение напряжений в напрягаемой арматуре ∆σ_рs(t) и ∆σ_вs(t) к любому промежуточному моменту времени t > t_w определяют, используя соотношения:

 

; ;

где  и  вычисляют по формулам (19) - (22), полагая в них ∆σ_вр = ∆σ'_вр = 1 и руководствуясь указаниями разд. 6.

8. СХЕМА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ

8.1 . Принимая во внимание обычную последовательность изготовления и монтажа сборных железобетонных конструкций транспортных сооружений (в первую очередь, предварительно напряженных), расчет напряженного состояния железобетонных элементов в стадии эксплуатации рекомендуется производить по формулам приведенным в разд. 4-7, исходя из двухстадийной схемы приложения постоянной нагрузки.

I стадия: вычисление приращений напряжений, вызванных усилием предварительного обжатия и собственной массой железобетонного элемента с момента времени t₀₁. В зависимости от относительного уровня начальных напряжений в бетоне ∆σ_вр и ∆σ'_вр, вычисляемого с учетом передаточной прочности R_вn в указанной стадии, используют формулы (19) - (22) или (30) - (33).

II стадия: вычисление приращений напряжений, вызванных приложением постоянной эксплуатационной нагрузки в возрасте бетона. Для расчета изменения напряжений в этой стадии используют только формулы (19) - (22).

8.2. Входящие в указанные формулы значения функции определяют по таблицам рекомендуемого приложения 2 и формулам (34). Необходимые для этого значения коэффициента ε_1c принимают по табл. 5 разд. 2 в зависимости от передаточной прочности или фактического возраста бетона с учетом стации приложения нагрузки.

Значения характеристики ползучести бетона независимо от рассматриваемой стадии вычисляют по формуле (11), полагая t₀ = 28 сут.

8.3. Суммарное значение приращений напряжений от ползучести бетона находят как алгебраическую сумму указанных величин, вычисленных для обеих стадий согласно п. 8.1.

8.4. Приращения напряжений в арматуре и бетоне, вызванные воздействием усадки бетона и вычисленные согласно разд. 7, алгебраически суммируют с указанными в п. 8.3 приращениями напряжений от ползучести бетона. В целях упрощения расчетов допускается принимать, что начало высыхания (начало воздействия усадки) t_w совпадает со временем t₀₁ начала 1 стадии по п. 8.1. При отсутствии данных о фактическом возрасте t_w допускается принимать его равным 7 суткам.

8.5. Текущие значения напряжений в напрягаемой (ненапрягаемой) арматуре и в бетоне к любому заданному моменту времени наблюдения t определяют как алгебраическую сумму начальных и соответствующих приращений напряжений во времени с учетом указаний п. 1.28 СНиП 2.03.01-84.

Приложение 1
Рекомендуемое
ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО ЭЛЕМЕНТА С ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ В УСЛОВИЯХ ЛИНЕЙНОЙ (УСЛОВНО-ЛИНЕЙНОЙ) ПОЛЗУЧЕСТИ

1. Для расчета железобетонного сечения произвольной формы используют систему координат у0х, совпадающую с главными осями инерции бетонной части сечения и, кроме того, систем координат y₁0₁x₁ получающуюся параллельный переносом системы координат y0x до совмещения начала координат с центром тяжести упругой части сечения 0₁ (рисунок).

Общий случай расчета железобетонного элемента

2. Текущие напряжения в бетоне и приращения напряжений в упругих элементах сечения определяют по формулам:

                                             (1)

;                          (2)

где , ,  - нормальная сила и нагибающие моменты относительно соответствующих осей в бетоне в момент времени t;

, ,  - тоже, в момент времени t₀;

L, B - матрицы податливости соответственно для упругой и бетонной частей сечения.

Матрицы податливости имеют вид:

; ,  (3)

где                                                    

                                                            (4)

                                               

;                                                                  (5)

A_s, A_b - площади соответственно упругой и бетонной частей сечения;

J_вх, J_ву - главные моменты инерции бетона сечения относительно осей 0х и 0y соответственно;

J_sx, J_sy, J_sxy - моменты инерции упругой части сечения относительно осей 0₁х₁ и 0₁у₁ и центробежный момент инерции в системе координат у₁0₁х₁;

x₀, y₀ - координаты центра тяжести упругой части сечения 0₁ в системе координат y0x.

3. Усилия, воспринимаемые бетонной частью сечения, определяют по формуле

,                                     (6)

где                               (7)

при j = 1, j ≠ i, …, m: для каждого фиксированного i = 1, …, m, кроме j = i;

m - число отличных друг от друга значений параметров р₁, р₂, р₃;

 - коэффициент затухания напряжений в бетоне при  определяется в соответствии с п. 6.1. Методических рекомендаций;

п₁ - отношение модуля упругости упругих элементов к модулю упругости бетона;

B^-1 - матрица, обратная матрице B;

[1] - единичная матрица.

Параметры р₁, р₂ и р₃ определяют как корни кубического уравнения

р₃ - в₁р² + в₂р - в₃ = 0.                                                           (8)

Значения параметров вычисляют по формулам:

                                               (9)

                                                (10)

где

                                          (11)

                                    (12)

       (13)

                                                                       (14)

4. С учетом пп. 2 и 3 текущие напряжения в бетоне и приращения напряжений в упругих элементах определяют по формулам:

                                   (15)

                            (16)

где y, x - координаты рассматриваемой точки сечения в системе координат y0x совпадающей с главными осями инерции бетонной части сечения.

5. При m = 3, в частности для поперечного сечения произвольной формы с произвольным расположением упругих элементов (р₁ ≠ р₂ ≠ р₃) формула (16) приводится к виду

.  (17)

При m = 2, в частности, для железобетонного поперечного сечения, имеющего две оси симметрии (р₂ = р₂ ≠ р₁)

     (18)

При m = 1, в частности, для поперечного сечения произвольной формы с равномерно распределенной по площади арматурой (р₁ = р₂ = р₃ = A_s/A_в)

                                              (19)

6. Для наиболее распространенного в инженерных, расчетах случая (железобетонное сечение симметрично относительно вертикальной оси) матрица L, в формуле (17) принимает вид:

.                                              (20)

Текущие напряжения в бетонной части сечения и приращения напряжений от ползучести в упругих элементах при этом определяют по формулам:

      (21)

        (22)

где

                        (23)

Параметры р₁, р₂ и р₃ определяют по формулам:

    (24)

.                                                                         (25)

7. Учет усадки бетона осуществляют по выше приведенным формулам,, заменяя в них: при определении текущих напряжений в бетонной части сечения - усилие N_в(t₀) на величину -qA_в и функции H_i на соответствующие функции  при определении приращений напряжений в упругих элементах - усилие N_в(t₀) на величину qA_в.

В обоих случаях М_ву(t₀) и М_вх(t₀) принимают равным нулю, а коэффициент q - согласно п.7.1.

Приложение 2
Рекомендуемое
ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НАСЛЕДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ  И ФУНКЦИЙ χ И F

Таблица 1

Числовые значения наследственной функции  (натяжение арматуры на упоры)

Таблица 2

Числовые значения наследственной функции  (натяжение арматуры на бетон)

Таблица 3

Числовые значения функции χ (натяжение арматуры на упоры)

Таблица 4

Числовые значения функции χ (натяжение арматуры на бетон)

Таблица 5

Числовые значения функции F (независимо от способа натяжения арматуры)

Формулы расчета функций , χ и F по таблицам:

Таблица 1

.                                   (1)

Таблица 2

                                                                      (2)

Таблица 3

                    (3)

Таблица 4

.                                         (4)

Таблица 5

,                                                    (5)

где

;

;

m = 4; v₀ = 3,5; c = 0,3; к = 0,92.

Приложение 3
Справочное
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

Пример 1. Исходные данные: пролетное строение моста под железную дорогу с расчетным пролетом L = 26,9 м; поперечное сечение (в середине пролета) представлено на рисунке, геометрические размеры - в первой строке табл. 1. Бетон тяжелый класса В30, осадка конуса 3-4 см, подвергнут тепловлажностной обработке, Напрягаемая арматура класса В-П, площадь сечения нижней напрягаемой арматуры A_p = 98, 7 см², верхней - A'_p = 9,4 см², модуль упругости E_p = 1,8·10⁵ МПа; натяжения арматуры на упоры. Передаточная прочность бетона в момент обжатия R_вp = 23,4 МПа, Постоянная эксплуатационная нагрузка прикладывается в возрасте 90 суток. Момент и нормальная сила в расчетном сечении от действия усилия предварительного напряжения (с учетом первых потерь за исключением поз.6 согласно обязательному приложению 11 СНиП 2.05.03-84) равны: М_р = 91,9·10² кН·м; N_p = 101,3·10² кН. Момент от собственного веса балки М_g = -33,0·10² кН·м; от веса балласта с частями пути М_q = -17,8·10² кН·м. Расчетная относительная влажность воздуха θ = 70 %,

Требуется определить предельные значения потерь предварительного напряжения в нижней и верхней напрягаемой арматурах от ползучести и усадки бетона.

Расчет. Геометрические характеристики бетонной части сечения А_в = 1,2856 м²; J_в = 0,8537 м⁴; y_в = 1,1073 м; y'_в = -0,8687 м; периметр 7,7694 м, Модуль открытой поверхности М = 7,7694/1,2856 = 6,04 м^-1.

Согласно табл. 3 основного текста модуль упругости бетона с учетом тепловлажностной обработки Е_в(28) = 32,5·0,9 = 29,25·10³ МПа, отношение модулей упругости стали и бетона α = 6,15.

Поперечное сечение железобетонного элемента, имеющего одну плоскость симметрии

Геометрические размеры поперечного сечения в примерах расчета, см, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Характеристики приведенного поперечного сечения при α = 6,15; A_red = 1,352 м²; J_red = 0,9296 м⁴; y_red = - 1,081; y'_red = -0,915 м.

Напряжение в бетоне на уровне центров тяжести напрягаемой арматуры от сил предварительного напряжения и собственного веса:

По формуле (2) нормативное сопротивление бетона осевому сжатию в момент отпуска предварительного напряжения R_вn(t₀) = [0,77 - 0,001 - 23,4]23,4 = 17,47 МПа. Соответствующие относительные уровни напряжений в бетоне: η = 0,78·σ_вр/R_вn(t₀) = 0,78·14,22/17,47 = 0,635; η' = 0,78·1,7/17,47 = 0,076.

Исходные геометрические характеристики поперечного сечения по формулам (15):

ρ₁ = 2,85; ρ₂ = 2,14; ρ₃ = - 0,45;

µ = 7,68·10^-3; µ' = 0,73·10^-3.

Обобщенные геометрические характеристики сечения по формуле (16):

p₁ = 21,91·10^-3; p₂ = 1,51·10^-3.

Определяем числовые параметры длительных деформаций. По табл. 4 с учетом тепловлажностной обработки нормативное значение меры ползучести С_n(28) = 80·10^-6·0,9 = 72·10^-6 МПа^-1.

С учетом условий изготовления и эксплуатации поправочные коэффициенты по табл. 5 (для t₀ = 28 сут.) ξ_2c = 0,673 (по интерполяции для М₀ = 6,04 м^-1); ξ_3c = 0,87. По формуле (6) определяем предельное значение меры линейной ползучести С(28) = 72·10^-6·0,673·0,87 = 42,15·10^-6 МПа^-1.

Соответствующее значение характеристики ползучести бетона по формуле (11) с учетом указаний п. 8.1 при E_в(t₀) = E_в(28):

φ(28) = (42,15·10^-6)·(29,25·10³) = 1,23.

По формулам(23) и (24) находим:

λ₁ = 0,1187; λ₂ = 0,0103.

Соответствующие значения φ_s = λ × φ(28):

φ_s1 = 0,1463; φ_s2 = 0,0127.

С учетом относительной передаточной прочности R_вр/B = 0,78 по табл. 5 находим ξ_1с = 1,22.

По табл. 1 рекомендуемого приложения 2, применяя линейную интерполяцию, находим числовые значения наследственных функций :

 = 0,1594;  = 0,0152.

По табл. 3 рекомендуемого приложения 2 для η = 0,635 находим аналогично числовые значения функций χ:

при φ_s1ξ_1c = 0,178, χ₁ = 0,971;

при φ_s2 ξ_1c = 0,178, χ₂ = 0,971;

По формулам (34) вычисляем значения функций :

 = 1 - (1 - 0,1594)·0,97 = 0,1838;  = 1 - (1 - 0,0152)·0,997 = 0,0182.

Потери напряжения в арматуре, вызванные ползучестью бетона от усилия предварительного обжатия и собственного веса, определяем по формулам (30) и (31):

Вычисляем напряжения в бетоне (на уровнях соответствующих арматур) от постоянной эксплуатационной нагрузки:

С учетом возраста приложения указанной части нагрузки по табл. 6 находим новое значение ξ_1с' = 0,7, а по табл. 1 рекомендуемого приложения 2 - соответствующие значения наследственных функций  (при тех же φ_s1 = 0,1463 и φ_s2 = 0,0127):

 = 0,0950;  = 0,0088.

По формулам (19) и (20) с учетом найденных значений  определяем приращения напряжений в арматуре, вызванные ползучестью бетона под действием постоянной эксплуатационной нагрузки:

∆σ_p = -8,78 МПа; ∆σ'_p = 8,83 МПа.

Для вычисления потерь от усадки бетона, действующей с момента предварительного обжатия, по табл. 4 находим нормативное значение ξ_sn(7) = 365·10^-6, а по табл. 5 (полагая t_w = 7 сут.) ξ_1s = 1; ξ_2s ⁼ 0,565; ξ_3s = 0,91. Предельное значение деформаций усадки по формуле (7) с учетом тепловлажностной обработки ξ_s(7) = 365·10^-6·0,565·0,91·0,9 = 169·10^-6.

Поскольку мера линейной ползучести бетона, соответствующая началу воздействия усадки (моменту предварительного обжатия) составляет C(t₀) = ξ_1sC(28) = 1,22·42,15·10^-6 = 51,42·10^-6 МПа^-1, значение коэффициента пропорциональности

q = ε_s(7)/C(t₀) = 3,29 МПа.

Потери предварительного напряжения в арматуре, вызванные усадкой бетона, определяем по формулам (45) и (46), принимая ранее найденные значения наследственных функций  для момента предварительного обжатия:

∆σ_ps = 24,1 МПа; ∆σ'_ps = 32,6 МПа.

В табл. 2 приведено сравнение потерь предварительного напряжения в арматуре, вычисленных по изложенной методике и методике действующих строительных норм и правил.

Таблица 2

Пример 2. Исходные данные: пролетное строение моста под автомобильную дорогу с расчетным пролетом L = 20,4 м. Поперечное сечение (в середине пролета) представлено на рисунке, геометрические размеры – во второй строке табл. 1. Бетон тяжелый класса В30, естественного твердения из бетонной смеси с расходом воды W = 180 л/м³. Удельное (по массе) содержание цементного теста в смеси p_z = 0,25. Одиночная нижняя напрягаемая арматура класса В-11; Е_р = 1,8·10⁵ МПа. Площадь арматуры A_р = 28,26 см². Предварительное обжатие осуществляется в возрасте 28 суток с натяжением арматуры на бетон. Постоянная эксплуатационная нагрузка прикладывается в возрасте 90 суток/, Момент и нормальная сила в расчетном сечении от действия усилий предварительного напряжения (с учетом первых потерь) относительно центра тяжести бетонной части сечения равны: M_p = 14,58·10² кН·м; N_p = 27,34·10² кН. Момент от собственного веса балки равен М_q = -6,24·10² кН·м; от эксплуатационной нагрузки - M_q = -4,48·10² кН·м. Расчетная относительная влажность воздуха θ = 70 %,

Требуется определить предельные значения потерь предварительного напряжения от ползучести и усадки бетона.

Расчет. Геометрические характеристики бетонной части сечения: А_в = 0,4327 м²; J_в = 0,08761 м²; у_в = 0,5334 м, Модуль открытой поверхности М₀ = 5,204/0,4327 = 12 м^-1.

Модуль упругости бетона (при t₀ = 28 суток) определяем по формуле (3):

Е_в(28) = 25,4·10³ МПа; α = Е_р/Е_в = 7,08.

Характеристики приведенного сечения: A_red = 0,4527 м²; J_red = 0,0768 м⁴; y_red = 0,51 м.

Напряжение в бетоне на уровне центра тяжести нижней арматуры по окончании предварительного напряжения

Нормативное сопротивление бетона осевому сжатию к моменту предварительного напряжения по формуле (2)

R_вn(t) = 22,2 МПа.

Относительный уровень обжатия η = 0,78·12,9/22,2 = 0,453.

В соответствии с п. 1.6 расчет можно производить с учетом условно-линейной ползучести.

Исходные геометрические характеристики поперечного сечения по формулам (15):

ρ₁ = 2,82; µ = 0,00653.

Обобщенная геометрическая характеристика по формуле (16)

ρ₁ = ρ₁µ = 0,0184.

Нормативное значение меры линейной ползучести бетона по формуле (4)

C_n(28) = 95,7·10^-6 МПа^-1.

Для условий изготовления и эксплуатации конструкции при t₀ = 28 сут. с учетом коэффициентов из табл. 5:

ξ_2c = 0,794 и ξ_2c = 0,87;

по формуле (6)

С(28) = 95,7·10^-6·0,794·0,87 = 66,1·10^-6 МПа^-1.

По формуле (23) определяем λ = 0,1153 и по формуле (11) находим φ_s = 0,1153·66,1·10^-6·26,42·10³ = 0,1936.

По табл. 2 рекомендуемого приложения 2 при найденном φ_s и ξ_1с = 1,  = 0,1578,

Потери напряжений в арматуре от усилий предварительного обжатия и собственного веса по формуле (27)

∆σ_p = 110,9 МПа.

Напряжения в бетоне от эксплуатационной нагрузки

σ_вq = -2,97 МПа.

По табл. 5 ξ_1c = 0,7 (t₀ = 90 сут.) и по табл. 2 рекомендуемого приложения 2 (при φ_s = 0,1936)  = 0,1127.

Потери напряжений от постоянной эксплуатационной нагрузки по формуле (27)

∆σ_p = -18,2 МПа.

Для учета влияния усадки находим по формуле (5)

ξ_sn(7) = 426·10^-6. Из табл. 5 – ξ_1s = 0,95 (t_w = 28 сут.); ξ_2s = 0,712; ξ_3s = 0,91. По формуле (7) ε_s(28) = 426·10^-6·0,95·0,712·0,91 = 262·10^-6.

В соответствии с п. 7.1 q = ε_s(28)/С(28) = 3,97 МПа.

Потери напряжений в арматуре от усадки бетона по формуле (49)

∆σ_ps = 34,1 МПа.

Суммарная величина потерь напряжений в арматуре, вызванных ползучестью и усадкой бетона.

∆σ_p = 110,9 + 34,1 – 18,2 = 126,8 МПа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Указания по проектированию железобетонных и бетонных конструкций железнодорожных, автодорожных и городских мостов и труб. (СН 365-67), М., Стройиздат, 1967.

2. Методические указания по расчету потерь предварительного напряжения, вызванных ползучестью и усадкой бетона в железобетонных конструкциях транспортных сооружений, М., ЦНИИС, 1972.

3. Арутюнян Н.Х., Александровский С.В. Современное состояние развития теории ползучести бетона. В сб. научн. трудов "Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций". М., Стройиздат. 1976.

4. Александровский С.В., Васильев П.И. Экспериментальные исследования ползучести бетона. В сб. научн. трудов "Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций". М., Стройиздат, 1976.

5. Александровский С.В., Бондаренко В.М., Прокопович И.Е. Приложение теории ползучести к практическим расчетам железобетонных конструкций, В сб. научн. трудов "Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций". М., Стройиздат, 1976.

6. Васильев П.И., Лившиц Я.Д. Приложение теории ползучести бетона к расчетам массивных конструкций и мостов, В сб. научн. трудов "Ползучесть и усадка бетонов и железобетонных конструкций". М., Стройиздат, 1976.

7. Гвоздев А.А. и др. Прочность, структурные изменения и деформации бетона, М., Стройиздат, 1978.

8. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А., Прикладная теория ползучести, М., Стройиздат, 1980.

9. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нелинейной теории железобетона, М., Стройиздат, 1982.

10. Берг О.Я., Щербаков Е.Н., Писанко Г.Н. Высокопрочный бетон, М., Стройиздат, 1971.

11. Исследования деформаций, прочности и долговечности бетона транспортных сооружений. Сб. научн. трудов ЦНИИС (под ред. Е.Н. Щербакова) М., ЦНИИС, 1983.

12. Щербаков Е.Н., Хасин В.Л. Обобщенный способ расчета напряженного состояния железобетонных, элементов в условиях ползучести, - Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, 1984, № 8.

13. Щербаков Е.Н., Хасин В.Л. Расчет упруго-ползучих систем с использованием коэффициентов затухания для лишних неизвестных, - Строительная механика и расчет сооружений, 1985, № 3.

14. Филиппов А.И., Медведев Г.С., Попов В.М. Расчет стержневых предварительно напряженных конструкций при различных уровнях и режимах нагружения, - Доклад на X Международном Конгрессе ФИП (Нью-Дели, 16-20 февраля 1986), М.-Л., 1986.

15. Прокопович И.Е., ,Барановский В.И., Невелик П.Л. Об учете влияния размеров элемента, влажности среды и нелинейной составляющей ползучести бетона при расчете релаксации и потерь преднапряжения. В сб. "Строительные конструкции", вып. 39, Киев. Будiвельник, 1986.

16. Хасин В.Л. К расчету железобетонных элементов с учетом нелинейной ползучести бетона. В сб. научн. трудов "Пути повышения производительности труда, сокращения сроков проектирования и строительства транспортных сооружений", М., ЩИИС, 1986.